ម៉ាទ្រីស Transposed: និយមន័យ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងលំហាត់

ម៉ាទ្រីស transposed គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីម៉ាទ្រីស។ វាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗដូចជា វិស្វកម្ម រូបវិទ្យា និងកុំព្យូទ័រ ដោយសារសមត្ថភាពរបស់វាក្នុងការសម្រួល និងដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ។

មុននឹងស្វែងយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលំហាត់ដែលភ្ជាប់ជាមួយម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីនិយមន័យរបស់វា។ ម៉ាទ្រីស transposed គឺ​មួយ​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ជួរ​ដេក​សម្រាប់​ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។ នោះគឺប្រសិនបើយើងមានម៉ាទ្រីស A នៃវិមាត្រ mxn នោះម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងត្រូវបានសម្គាល់ថាជា A^T ហើយនឹងមានវិមាត្រ nx m ។

លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ដ៏​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​បំផុត​មួយ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ចម្លង​គឺ​ថា​វា​រក្សា​លក្ខណៈ​ជាក់លាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដើម​ឱ្យ​នៅ​ដដែល។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A គឺស៊ីមេទ្រី នោះគឺជា A = A^T នោះ ស៊ីមេទ្រីនេះនឹងត្រូវរក្សាទុកក្នុងការផ្លាស់ប្តូររបស់វា។ លើសពីនេះ ការផ្ទេរផលបូកនៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសដែលបាននិយាយ។

ទាក់ទងនឹងការដោះស្រាយលំហាត់ ម៉ាទ្រីស transposed អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យប្រតិបត្តិការសាមញ្ញដូចជាការគុណម៉ាទ្រីស។ ដោយ​ការ​បញ្ជូន​ម៉ាទ្រីស​មួយ​ទៅ​គុណ​នឹង​មួយ​ទៀត លទ្ធផល​ដូចគ្នា​នឹង​ទទួល​បាន​ដូច​ជា​ការ​គុណ​ម៉ាទ្រីស​ដើម​ដោយ​ការ​ចម្លង​ម៉ាទ្រីស​ទីពីរ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានតម្លៃជាពិសេសក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ សម្រួលដំណើរការ និងសន្សំសំចៃពេលវេលា។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងគឺជាគោលគំនិតសំខាន់មួយក្នុងការវិភាគម៉ាទ្រីស ហើយផ្តល់នូវគុណសម្បត្តិជាច្រើនក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ឱ្យស៊ីជម្រៅអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលំហាត់ដែលទាក់ទងនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង ដូច្នេះអ្នកអាចប្រើធនធានដ៏មានអានុភាពនេះ ប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព នៅក្នុងការសិក្សា និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។

1. ការណែនាំអំពីការផ្ទេរម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីស transposed គឺជាប្រតិបត្តិការទូទៅមួយនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរដែលមានកម្មវិធីផ្សេងៗនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។ វាគឺជាម៉ាទ្រីសដែលកើតចេញពីការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដើម។ ប្រតិបត្តិការនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ ព្រោះវាអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលការគណនា និងដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងស្វែងយល់លម្អិតអំពីរបៀបទទួលបាន transpose matrix នៃ matrix ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស យើងត្រូវអនុវត្តតាមជំហានខាងក្រោម៖

1. កំណត់ម៉ាទ្រីសដើម ដែលអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់តារាង ឬក្នុងទម្រង់សមីការ។
2. ប្តូរជួរដេក និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស។ នេះ​បញ្ជាក់​ថា​ធាតុ​ដែល​មាន​ដើម​នៅ​ក្នុង​ជួរ​ដេក​នឹង​មាន​ទីតាំង​នៅ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ ហើយ​ច្រាសមកវិញ។
3. កត់ត្រាម៉ាទ្រីសលទ្ធផលថ្មី ដែលនឹងក្លាយជាការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសដើម។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីសដែលផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសចតុកោណមិនផ្លាស់ប្តូរវិមាត្ររបស់វាទេខណៈពេលដែលម៉ាទ្រីសដែលបានផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសការ៉េរក្សារូបរាងដូចគ្នាប៉ុន្តែធាតុរបស់វាមានទីតាំងនៅច្រាស។ លើសពីនេះ ម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស transposed ដើមគឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសដើម។ យើងនឹងឃើញឥឡូវនេះ ឧទាហរណ៍មួយចំនួន ដែលនឹងបង្ហាញពីគំនិតទាំងនេះកាន់តែប្រសើរ។

ឧទាហរណ៍ទី 1: ដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស A = [2 4 1; ៣ ១ ១១] អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបំប្លែង A^T របស់វា។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលបានប្តូរ A^T = [2 3; បួន.ប្រាំ; 4]។

ឧទាហរណ៍ទី 2: ដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស B = [1 2 3; ៤ ៥ ៦; ១ ១១ 9] អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបំប្លែង B^T របស់វា។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលបានប្តូរ B^T = [1 4 7; ២ ៥ ៨; ៣ ៦ ៩]។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសបំប្លែងគឺជាឧបករណ៍មូលដ្ឋាននៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលការគណនា និងដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។ ការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសឆ្លងកាត់របស់វា ដែលអាចត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា រូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងកុំព្យូទ័រ។

2. និយមន័យនៃម៉ាទ្រីស transposed

ម៉ាទ្រីស transposed គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ជួរ​ដេក​សម្រាប់​ជួរ​ឈរ​ក្នុង​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ផ្តល់។ ប្រតិបត្តិការនេះមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធី ព្រោះវាអនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការ និងការគណនាត្រូវបានអនុវត្តកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព។

ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស transposed ជំហានខាងក្រោមត្រូវតែធ្វើតាម៖

- ជាដំបូង ចំនួនជួរដេក និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដើមត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណ។ នេះជាការសំខាន់ដើម្បីដឹងពីរបៀបដែលជួរដេក និងជួរឈរគួរត្រូវបានប្តូរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសថ្មី។
- បន្ទាប់មក ម៉ាទ្រីសថ្មីត្រូវបានបង្កើតដោយចំនួនជួរដេកស្មើនឹងចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដើម ហើយចំនួនជួរឈរស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដើម។
- បន្ទាប់មក ជួរដេកត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់ជួរឈរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ធាតុនៅទីតាំង i, j នៃម៉ាទ្រីសដើម ត្រូវបានគេយក ហើយដាក់នៅទីតាំង j, i នៃម៉ាទ្រីស transposed ។
- ដំណើរការនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដើម រហូតដល់ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងទាំងស្រុងត្រូវបានបញ្ចប់។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស transposed គឺជាម៉ាទ្រីសដើម។ លើសពីនេះ ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងរក្សាបាននូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃម៉ាទ្រីសដើម ដូចជាការបូក និងគុណ។ ម៉ាទ្រីស transposed ក៏ជួយសម្រួលដល់ការគណនានៃកត្តាកំណត់ បញ្ច្រាស និងប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀត។ វាគឺជាឧបករណ៍មូលដ្ឋាននៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងក្នុងវិស័យជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វកម្ម។ [បញ្ចប់

3. ការគណនានៃម៉ាទ្រីស transposed

នេះគឺជាប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋាននៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលរួមមានការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រតិបត្តិការនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា រូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងកុំព្យូទ័រ។

ដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីស transpose ជំហានខាងក្រោមត្រូវតែធ្វើតាម៖

• កំណត់ម៉ាទ្រីសដំបូងដែលអ្នកចង់បញ្ជូន។
• ផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ ពោលគឺដាក់ធាតុនៃ ជួរទីមួយ ដូចជាជួរឈរទីមួយ ធាតុនៅក្នុងជួរទីពីរ ជាជួរឈរទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។
• លទ្ធផលដែលទទួលបានគឺម៉ាទ្រីស transposed ដែលចង់បាន។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការចងចាំថាម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស transposed រួចហើយគឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសដើម។ លើសពីនេះ ម៉ាទ្រីស transposed រក្សានូវលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួន ដូចជាផលបូកនៃម៉ាទ្រីស transposed គឺស្មើនឹងផលបូក transposed នៃ matrices ដើម។

៤. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ transpose នៃម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីស transposed គឺជាប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋាននៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរដែលមានការប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យផ្សេងៗ ដូចជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងការតំណាងក្រាហ្វិកនៃទិន្នន័យ។

ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងត្រូវអនុវត្តតាមជំហានទាំងនេះ៖

1. កំណត់ម៉ាទ្រីសដើមដែលយើងនឹងសម្គាល់ថា A ។
2. យកធាតុពីជួរទីមួយនៃ A ហើយដាក់វានៅជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសដែលបានប្តូរ ដែលតំណាងថា A^T ។
3. ធ្វើជំហានមុនម្តងទៀតសម្រាប់ជួរឈរទាំងអស់នៃ A ដោយដាក់ធាតុដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងជួររៀងៗខ្លួននៃ A^T ។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស transposed គឺជាម៉ាទ្រីសដើមដោយខ្លួនឯងពោលគឺ (A^T)^T = A ។

ម៉ាទ្រីស transposed មានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងងាយស្រួលក្នុងការគណនា និងទទួលបានលទ្ធផលកាន់តែងាយស្រួល។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះមួយចំនួនគឺ៖

- ផលបូកនៃម៉ាទ្រីសប្តូរពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃម៉ាទ្រីសដើម៖ (A + B)^T = A^T + B^T ។
- ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃចំនួនពិត និងម៉ាទ្រីសបំប្លែងគឺស្មើនឹងការបញ្ជូនផលនៃមាត្រដ្ឋាននៃចំនួនដែលបាននិយាយ និងម៉ាទ្រីសដើម៖ (kA)^T = k(A^T) ។
- ការចម្លងនៃគុណនៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងការគុណនៃការបញ្ជូនតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖ (AB)^T = B^TA^T ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវឧបករណ៍ដើម្បីសម្រួលប្រតិបត្តិការពិជគណិតជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង និងទទួលបានលទ្ធផល ប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព. វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយកលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះទៅក្នុងគណនី ហើយអនុវត្តពួកវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការគណនា និងបញ្ហាទាក់ទងនឹងម៉ាទ្រីស និងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

5. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃផលបូកនៃម៉ាទ្រីស

វាកំណត់ថាការបញ្ជូននៃផលបូកនៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសដែលបាននិយាយ។ នេះមានន័យថាយើងអាចទទួលបាន transpose នៃផលបូកនៃ matrices ដោយបន្ថែម matrices ហើយបន្ទាប់មកទទួលយក transpose នៃលទ្ធផល។

ដើម្បីបង្ហាញលក្ខណសម្បត្តិនេះ យើងអាចប្រើនិយមន័យនៃ transpose នៃ matrix: ការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ឧបមាថាយើងមានម៉ាទ្រីសពីរ A និង B ។ ផលបូកនៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះនឹងជា A + B ។ បន្ទាប់មកយើងយកការបកប្រែនៃផលបូកនេះ៖ (A + B)^T. ដើម្បីទទួលបាន transpose នៃ A + B យើងគ្រាន់តែយក transpose នៃធាតុនីមួយៗនៃផលបូក។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ឧបមាថាយើងមានម៉ាទ្រីស A = [1 2 3] និង B = [4 5 6] ។ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមម៉ាទ្រីសទាំងនេះ យើងទទួលបាន A + B = [5 7 9] ។ ឥឡូវនេះយើងយកការផ្ទេរនៃផលបូកនេះ៖ (A + B)^T = [៥ ៧ ៩]^T = [5 7 9] ។ យើង​អាច​សង្កេត​ឃើញ​ថា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​យក transpose នៃ​ផលបូក​គឺ​ស្មើ​នឹង​ផលបូក​នៃ transposes នៃ matrices ដើម។

6. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃ transpose នៃការគុណម៉ាទ្រីសមួយ។

នេះគឺជាឧបករណ៍សំខាន់នៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះចែងថា ការបញ្ជូនផលនៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការបញ្ជូននៃម៉ាទ្រីសបុគ្គល ប៉ុន្តែនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស។ នោះគឺប្រសិនបើ A និង B គឺជាម៉ាទ្រីស នោះការបញ្ជូនផលិតផល AB គឺស្មើនឹងការបញ្ជូន B គុណនឹងការបញ្ជូនរបស់ A ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិចារណាម៉ាទ្រីស A និង B ពីរ។ ដំបូង យើងគុណម៉ាទ្រីស A និង B ហើយទទួលបានម៉ាទ្រីស AB ។ បន្ទាប់មក យើងគណនា transpose នៃ matrix AB ដែលតំណាងថា (AB)^T។ បន្ទាប់មក យើងគណនា transpose នៃ A និង transpose នៃ B ដែលតំណាងថា A^T និង B^T រៀងគ្នា។ ជាចុងក្រោយ យើងគុណ B^T ដោយ A^T ហើយពិនិត្យមើលថាតើលទ្ធផលស្មើនឹង (AB)^T ដែរឬទេ។ ប្រសិនបើផលិតផលទាំងពីរស្មើគ្នា នោះទ្រព្យសម្បត្តិនឹងកាន់កាប់។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពី . ឧបមាថាយើងមានម៉ាទ្រីស A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] និង B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]] ។ ដំបូងយើងគុណម៉ាទ្រីស A និង B ហើយទទួលបានម៉ាទ្រីស AB ។ បន្ទាប់មកយើងគណនា transpose នៃ AB និងទទួលបានម៉ាទ្រីស (AB)^T ។ បន្ទាប់មកយើងគណនាការបញ្ជូននៃ A និង B ដែលក្នុងករណីនេះ A^T = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] និង B^T = [[7, 9, ១១], [៨, ១០, ១២]]។ ជាចុងក្រោយ យើងគុណ B^T ដោយ A^T ហើយទទួលបានម៉ាទ្រីស B^T * A^T ។ ប្រសិនបើទ្រព្យសម្បត្តិកាន់កាប់ លទ្ធផលនៃ B^T * A^T ត្រូវតែស្មើ (AB)^T ។

7. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃ transpose នៃផលិតផល dot នៃ matrix មួយ។

នេះគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា និងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះចែងថាការបញ្ជូនផលនៃចំនុចនៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលចំនុចនៃការបញ្ជូននៃម៉ាទ្រីសដែលបាននិយាយ។ ដំណើរការនេះត្រូវបានរៀបរាប់លម្អិតខាងក្រោម មួយជំហានម្តងៗ ដើម្បីដោះស្រាយ បញ្ហានេះ:

1. ជាដំបូងវាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការចងចាំថា transpose នៃ matrix មួយត្រូវបានទទួលដោយការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងមានម៉ាទ្រីស A និង B ពីរ ការប្តូរនៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះត្រូវបានតំណាងថាជា A^T និង B^T រៀងគ្នា។

2. ផលិតផលចំនុចរវាងម៉ាទ្រីសពីរត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស។ នោះគឺប្រសិនបើយើងមានម៉ាទ្រីស A និង B ពីរនៃវិមាត្រ (mxn) ផលិតផលចំនុចត្រូវបានគណនាដោយគុណធាតុនៃទីតាំងដូចគ្នាហើយបន្ថែមពួកវា។

3. ដើម្បីបញ្ជាក់វាត្រូវតែបង្ហាញថា (AB)^T = B^TA^T ។ កំពុងអភិវឌ្ឍ ភាគីទាំងពីរ ពីសមីការយើងអាចឃើញថាធាតុនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនៅក្នុងករណីទាំងពីរគឺស្មើគ្នាដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិ។

សរុបមក វាចែងថា ការបញ្ជូនផលនៃមាត្រដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសដែលបាននិយាយ។ គោលគំនិតនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងបង្ហាញពីប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗក្នុងវិស័យពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ការ​ចងចាំ​និយមន័យ​និង​ការ​ធ្វើ​តាម​ដំណើរ​ការ​មួយ​ជំហាន​ម្តង​មួយ​ជំហាន​គឺ​ជា​គន្លឹះ​ក្នុង​ការ​យល់​ដឹង​និង​ការ​អនុវត្ត​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នេះ​ ប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព.

8. ឧទហរណ៍នៃម៉ាទ្រីស transposed

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ បន្ទាប់មក ឧទាហរណ៍ចំនួនបីនឹងត្រូវបានបង្ហាញដែលបង្ហាញពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ទី 1: ចូរយើងពិចារណាម៉ាទ្រីស A នៃទំហំ 3 × 3៖
«`
A = [[1, 2, 3],
[២, ៥, ៨],
[៣, ៦, ៩]
«`
ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលបានប្តូរនៃ A យើងគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងនៃ A តំណាងថា A^T នឹងមានៈ
«`
A^T = [[1, 4, 7],
[២, ៥, ៨],
[៣, ៦, ៩]
«`

ឧទាហរណ៍ទី 2: ប្រសិនបើយើងមានម៉ាទ្រីស B នៃទំហំ 2 × 4៖
«`
ខ = [[1, 2, 3, 4],
[៥, ៦, ៧, ៨]
«`
ម៉ាទ្រីស transposed នៃ B, B^T, ត្រូវបានទទួលដោយការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបំប្លែង B នឹងមានៈ
«`
B^T = [[1, 5],
[៣, ៧],
[៣, ៧],
[៤, ៨]
«`

ឧទាហរណ៍ទី 3: ឥឡូវឧបមាថាយើងមានម៉ាទ្រីស C នៃទំហំ 4 × 2៖
«`
C = [[1, 2],
[៣, ៧],
[៣, ៧],
[៤, ៨]
«`
ម៉ាទ្រីស transposed នៃ C, C^T, ត្រូវបានទទួលដោយការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ដូច្នេះ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ចម្លង​នៃ C នឹង​ជា​៖
«`
C^T = [[1, 3, 5, 7],
[៥, ៦, ៧, ៨]
«`

ដូច្នេះ ម៉ាទ្រីស transposed អាចត្រូវបានគណនាសម្រាប់ទំហំ និងមាតិកាផ្សេងគ្នា។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសគឺជាប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋាននៅក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងកម្មវិធីផ្សេងៗ ដូចជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ និងរៀបចំទិន្នន័យក្នុងការវិភាគលេខ។

9. របៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយម៉ាទ្រីស transposed

នៅពេលធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីស transposed វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានដើម្បីរៀបចំនិងដោះស្រាយបញ្ហាដែលទាក់ទងនឹងពួកគេ។ ខាងក្រោមនេះ ដំណើរការជាជំហានៗ ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះនឹងត្រូវបានបង្ហាញ៖

1. ការទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង៖ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជួរដេកត្រូវតែត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាមួយជួរឈរ។ នេះត្រូវបានសម្រេចដោយការដាក់ធាតុជួរដេកនៅក្នុងទីតាំងដែលត្រូវគ្នានឹងជួរឈរនិងច្រាសមកវិញ។ ដំណើរការនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយដៃ ឬដោយប្រើឧបករណ៍ឯកទេស ឬកម្មវិធី។

2. ផលបូកនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង៖ ការបន្ថែមនៃម៉ាទ្រីសឆ្លងកាត់ពីរគឺធ្វើឡើងដោយបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងទីតាំងដូចគ្នានៃម៉ាទ្រីសទាំងពីរ។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការធានាថាម៉ាទ្រីសមានវិមាត្រដូចគ្នា ពោលគឺពួកគេមានចំនួនជួរដេក និងជួរឈរដូចគ្នា។

3. គុណម៉ាទ្រីសឆ្លងកាត់៖ ការគុណនៃម៉ាទ្រីសប្តូរពីរត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសបញ្ជូនតនៃម៉ាទ្រីសទីមួយដោយធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសបញ្ជូនទីពីរ។ លទ្ធផល​គឺ​អារេ​ថ្មី​ដែល​អាច​មាន​វិមាត្រ​ខុស​ពី​អារេ​ដើម។

10. លំហាត់ដើម្បីអនុវត្តជាមួយម៉ាទ្រីស transposed

ម៉ាទ្រីស transposed គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ផ្តល់។ ប្រតិបត្តិការនេះមានប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីសនៃទំហំណាមួយ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាលំហាត់ជាបន្តបន្ទាប់ដែលនឹងជួយអ្នកអនុវត្តជាមួយម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង និងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងរបស់អ្នកលើប្រធានបទនេះ។

1. លំហាត់គណនាម៉ាទ្រីស Transposed៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស A គណនាម៉ាទ្រីស A របស់វា^T. សូមចងចាំថា ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង អ្នកត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរ A។ ប្រើរូបមន្ត A_ij = ក_ji ដើម្បីគណនាធាតុនៃម៉ាទ្រីស transposed ។

2. លំហាត់ផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រព្យសម្បត្តិម៉ាទ្រីស Transposed: បង្ហាញថាម៉ាទ្រីស transposed នៃម៉ាទ្រីស transposed A គឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសដើម A ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងគណនាម៉ាទ្រីស transpose នៃ A ហើយបន្ទាប់មក transpose matrix នៃ transpose matrix នៃ A. ពិនិត្យមើលថាតើ matrices ទាំងពីរគឺស្មើគ្នាដោយប្រើ matrix equality property ។

11. ដំណោះស្រាយចំពោះលំហាត់ម៉ាទ្រីស transposed

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ពីដំណោះស្រាយចំពោះលំហាត់ដែលទាក់ទងនឹងម៉ាទ្រីស transposed ។ មុននឹងស្វែងយល់ពីលំហាត់ វាជារឿងសំខាន់ក្នុងការយល់ដឹងថា តើម៉ាទ្រីសប្តូរទៅជាអ្វី។ ម៉ាទ្រីស transposed គឺ​ជា​មួយ​ដែល​ជួរដេក​ត្រូវ​បាន​ផ្លាស់​ប្តូរ​សម្រាប់​ជួរ​ឈរ នោះ​គឺ​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ដេក i ក្លាយ​ជា​ធាតុ​នៃ​ជួរឈរ i ។

ដើម្បីដោះស្រាយលំហាត់ ទាក់ទងទៅនឹងម៉ាទ្រីស transposed សូមអនុវត្តតាមជំហានទាំងនេះ៖

1. កំណត់ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ ត្រូវប្រាកដថាអ្នកច្បាស់អំពីម៉ាទ្រីសដែលអ្នកកំពុងធ្វើការជាមួយ។ ម៉ាទ្រីសនេះអាចជាសំណុំនៃលេខ ឬអថេរ។

2. ស្វែងរកម៉ាទ្រីស transposed៖ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីស transposed អ្នកត្រូវប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ អ្នកអាចធ្វើបាន នេះដោយការសរសេរធាតុនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសដើមជាជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង ធាតុនៃជួរទីពីរជាជួរទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

3. ពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយ៖ នៅពេលដែលអ្នកបានរកឃើញម៉ាទ្រីសដែលបានផ្លាស់ប្តូរ សូមពិនិត្យមើលចម្លើយរបស់អ្នកដោយធ្វើឱ្យប្រាកដថាធាតុត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរត្រឹមត្រូវ។ អ្នក​អាច​ធ្វើ​ដូច្នេះ​បាន​ដោយ​ប្រៀបធៀប​ម៉ាទ្រីស​បញ្ជូន​ដែល​ទទួល​បាន​ជាមួយ​នឹង​និយមន័យ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចម្លង។

ចងចាំថាត្រូវអនុវត្តជាមួយឧទាហរណ៍បន្ថែម ដើម្បីស្គាល់ដំណើរការនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីស transpose ។ កុំស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការប្រើឧបករណ៍ដូចជាម៉ាទ្រីសគណនាដើម្បីពិនិត្យមើលចម្លើយរបស់អ្នក និងបង្កើនជំនាញរបស់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ទាំងនេះ!

12. កម្មវិធីនៃម៉ាទ្រីស transposed ក្នុងប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

13. ការប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីស transposed ក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់

នៅពេលដោះស្រាយកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលការគណនាដោយប្រើម៉ាទ្រីសបំប្លែង។ ម៉ាទ្រីស transposed ត្រូវ​បាន​ទទួល​ដោយ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ជួរ​ដេក​សម្រាប់​ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចប្រើ transpose matrix ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃ matrices ការ៉េ។

នីតិវិធីប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីស transposed ក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់មានដូចខាងក្រោម៖

• ទទួលបានម៉ាទ្រីសដើមដែលអ្នកចង់គណនាកត្តាកំណត់។
• គណនាម៉ាទ្រីសប្តូរដោយផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។
• អនុវត្តវិធីសាស្រ្តគណនាកត្តាកំណត់ដែលពេញចិត្ត (ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្រ cofactor ឬវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់ Gauss-Jordan) ទៅម៉ាទ្រីស transpose ។
• យកលទ្ធផលដែលទទួលបានជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

គាត់​អាច​សម្រួល​ដំណើរការ​នេះ ជាពិសេស​នៅពេល​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ធំ​។ បច្ចេកទេសនេះអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងកម្មវិធីគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗ ដូចជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ ឬការគណនាតំបន់ និងបរិមាណក្នុងធរណីមាត្រ។ សាកល្បងប្រើម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងនៅពេលបន្ទាប់អ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់ និងស្វែងយល់ថាតើវាមានប្រសិទ្ធភាពប៉ុណ្ណា!

14. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន និងសេចក្តីសង្ខេបនៃម៉ាទ្រីសបំប្លែង និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

សរុបសេចក្តីមក ម៉ាទ្រីស transposed គឺជាប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋាននៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ ប្រតិបត្តិការនេះមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលមានប្រយោជន៍ក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ។ បន្ទាប់ យើងនឹងសង្ខេបលក្ខណៈសម្បត្តិដែលពាក់ព័ន្ធបំផុតនៃម៉ាទ្រីស transposed៖

• ការបញ្ជូននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសដើម៖ (A^T)^T=A.
• ការបញ្ជូននៃផលបូកនៃម៉ាទ្រីសទាំងពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសទាំងនោះ៖ (A + B)^T = A^T + B^T.
• ការបញ្ជូនផលនៃម៉ាទ្រីស និងមាត្រដ្ឋានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមាត្រដ្ឋាន និងការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីស៖ (kA)^T = k(A^T).
• ការបញ្ជូនផលនៃម៉ាទ្រីសពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការបញ្ជូននៃម៉ាទ្រីសទាំងនោះ ប៉ុន្តែតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖ (AB)^T = B^TA^T.

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះគឺចាំបាច់សម្រាប់រៀបចំម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង និងសម្រួលកន្សោមគណិតវិទ្យា។ ម៉ាទ្រីស transposed ត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងជាច្រើន ដូចជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ អង្កត់ទ្រូងម៉ាទ្រីស និងការវិភាគរចនាសម្ព័ន្ធលីនេអ៊ែរ។ ការយល់ដឹង និងជំនាញរបស់វាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការសិក្សាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសដែលបានប្តូរគឺជាឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងរៀបចំកន្សោមគណិតវិទ្យាកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ ដូចដែលពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងបរិបទ និងកម្មវិធីជាច្រើន។ បន្តអនុវត្ត និងស្វែងរកឧទាហរណ៍ផ្សេងៗ ដើម្បីបង្កើនការយល់ដឹង និងជំនាញរបស់អ្នកជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង។

សរុបមក ម៉ាទ្រីស transposed គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា និងដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដោយគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរជួរដេកទៅជាជួរឈរ យើងអាចទទួលបានម៉ាទ្រីសប្តូរដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវព័ត៌មានដ៏មានតម្លៃអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងបានស្វែងយល់ពីនិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង ហើយយើងបានវិភាគលំហាត់ជាក់ស្តែងមួយចំនួន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់កាន់តែច្បាស់អំពីអត្ថប្រយោជន៍ និងកម្មវិធីរបស់វា។ នៅក្នុងពិភពលោក ពិត។

វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការគូសបញ្ជាក់ថា ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងគឺជាឧបករណ៍សំខាន់ក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា វិស្វកម្ម សេដ្ឋកិច្ច រូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ក្នុងចំណោមមុខវិជ្ជាផ្សេងៗទៀត។ ការយល់ដឹង និងភាពប៉ិនប្រសប់របស់វាគឺមានសារៈសំខាន់សម្រាប់អ្នកដែលមានបំណងចង់ស្វែងយល់ឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងវិស័យទាំងនេះ ហើយប្រើប្រាស់គណិតវិទ្យាជាឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា និងការសម្រេចចិត្តប្រកបដោយការយល់ដឹង។

សរុបសេចក្តីមក ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង គឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏មានតម្លៃ និងអាចប្រើប្រាស់បាន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំ និង វិភាគទិន្នន័យ ប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។ ការយល់ដឹងត្រឹមត្រូវរបស់វានឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព និងបង្កើតដំណោះស្រាយប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិតក្នុងវិស័យផ្សេងៗ។